Atrisinājums

Ja \(b=c\), tad dotā nevienādība ir patiesa.

Apskatām gadījumu, kad \(b \neq c\). Novelkam nogriezni \(AD\), kura garums ir \(a\). Tam perpendikulāri no punkta \(D\) uz vienu pusi atliekam nogriežņus \(BD\) un \(CD\), kuru garumi attiecīgi ir \(b\) un \(c\) (iespējami divi gadījumi, skat. 36.att.). No Pitagora teorēmas trijstūros \(ADB\) un \(ADC\) iegūstam, ka \(AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}}\) un \(AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Ievērojam, ka \(BC=|BD-CD|=|b-c|\). No trijstūra nevienādības trijstūrī \(ABC\) iegūstam \(BC>|AB-AC|\) jeb \(|b-c|>\left|\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+c^{2}}\right|\).

Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(\left|\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+c^{2}}\right| \leq|b-c|\).