Atrisinājums

Tā kā varbūtība, ka abas lodītes būs vienā krāsā, sakrīt ar varbūtību, ka lodītes būs dažādās krāsās, tad abas varbūtības ir \(\frac{1}{2}\). Varbūtību, ka abas lodītes būs vienā krāsā, aprēķināsim izmantojot formulu \(P(A)=\frac{k}{n^{\prime}}\) kur \(k\) ir labvēlīgo notikumu skaits un \(n\) ir visu notikumu kopskaits.

Ar \(m\) apzīmējam melno lodīšu skaitu. Tad labvēlīgo notikumu (abas lodītes ir vienā krāsā) skaits ir \(66 \cdot 65+m(m-1)\) un visu notikumu kopskaits (izņemtas divas lodītes) ir \((66+m)(65+m)\). Līdz ar to varbūtība, ka abas izvilktās lodītes ir vienādā krāsā, ir \(\frac{m(m-1)+66 \cdot 65}{(66+m)(65+m)}\).

Lai iegūtu melno lodīšu skaitu, jāatrisina vienādojums

\[\frac{m(m-1)+66 \cdot 65}{(66+m)(65+m)}=\frac{1}{2}\]

Reizinām abas vienādojuma puses ar \(2(66+m)(65+m)>0\), iegūstam

\[\begin{gathered} 2m^{2}-2m+2 \cdot 66 \cdot 65=66 \cdot 65+131m+m^{2} \\ m^{2}-133m+66 \cdot 65=0 \end{gathered}\]

Šī vienādojuma saknes ir \(m_{1}=78\) un \(m_{2}=55\). Tātad urnā atrodas \(78\) vai \(55\) melnas lodītes. *Piezīme.* Varbūtību, ka abas izņemtās lodītes ir vienā krāsā, var arī aprēķināt, izmantojot notikumu summas varbūtību, tas ir, ja notikumi \(A\) un \(B\) ir nesavienojami, tad \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\), kur \(A\) - abas izņemtās lodītes ir baltas un \(B\) - abas izņemtās lodītes ir melnas. Aprēķinām varbūtību \(P(A)\). Ar \(m\) apzīmējam melno lodīšu skaitu. Varbūtība, ka pirmā izvilktā lodīte ir balta, ir \(\frac{66}{66+m}\) un varbūtība, ka otrā izvilktā lodīte arī ir balta (ja pirmā bija balta), ir \(\frac{66-1}{66+m-1}\). Tātad varbūtība, ka abas izvilktās lodītes ir baltas, ir \(P(A)=\frac{66 \cdot 65}{(66+m)(65+m)}\). Līdzīgi iegūstam, ka varbūtība, ka abas izvilktās lodītes ir melnas, ir \(P(B)=\frac{m(m-1)}{(66+m)(65+m)}\). Līdz ar to varbūtība, ka abas izvilktās lodītes ir vienādā krāsā, ir \(\frac{m(m-1)}{(66+m)(65+m)}+\frac{66 \cdot 65}{(66+m)(65+m)}\).