Doti \(2019\) reāli skaitļi ar īpašību, ka jebkuru \(1010\) skaitļu summa ir lielāka nekā atlikušo \(1009\) skaitļu summa. Pierādīt, ka visi dotie skaitļi ir pozitīvi!
Pieņemsim pretējo, ka kāds no dotajiem skaitļiem \(x\) ir negatīvs vai \(0\), tas ir \(x \leq 0\). Atlikušos \(2018\) skaitļus sadalām divās grupās \(A\) un \(B\) katrā pa \(1009\) skaitļiem. Grupas \(A\) un \(B\) skaitļu summu attiecīgi apzīmējam ar \(S_{A}\) un \(S_{B}\). Pēc dotā vienlaicīgi ir spēkā divas nevienādības \(S_{A}+x>S_{B}\) un \(S_{B}+x>S_{A}\). Saskaitot šīs nevienādības, iegūstam
\[S_{A}+S_{B}+2x>S_{A}+S_{B}\]
Līdz ar to \(2x>0\) jeb \(x>0\). Esam ieguvuši pretrunu ar pieņēmumu, ka \(x \leq 0\). Tātad visi dotie skaitļi ir pozitīvi.