Atrisinājums

Pierādīsim, ka tādus skaitļus nevar atrast. Pārveidojam doto vienādojumu:

\[\begin{aligned} 20x^{3}-2000 & =17+17y^{2} \\ 20\left(x^{3}-100\right) & =17\left(1+y^{2}\right) \end{aligned}\]

Ievērojam, ka vienādojuma kreisā puse dalās ar \(4\). Pamatosim, ka vienādojuma labā puse nedalās ar \(4\), tas ir, pamatosim, ka \(1+y^{2}\) nedalās ar \(4\). Apskatām, kādu atlikumu var dot skaitlis \(1+y^{2}\), dalot ar \(4\): - ja \(y\) dalās ar \(4\), tas ir, \(y=4k\), kur \(k \in \mathbb{Z}\), tad \(1+y^{2}=1+16k^{2}\), kas nedalās ar \(4\); - ja \(y\), dalot ar \(4\), dod atlikumā \(1\), tas ir, \(y=4k+1\), kur \(k \in \mathbb{Z}\), tad \(1+y^{2}=1+16k^{2}+8k+1=4\left(4k^{2}+2k\right)+2\), kas nedalās ar \(4\); - ja \(y\), dalot ar \(4\), dod atlikumā \(2\), tas ir, \(y=4k+2\), kur \(k \in \mathbb{Z}\), tad \(1+y^{2}=1+16k^{2}+16k+4=4\left(4k^{2}+4k\right)+5\), kas nedalās ar \(4\); - ja \(y\), dalot ar \(4\), dod atlikumā \(3\), tas ir, \(y=4k+3\), kur \(k \in \mathbb{Z}\), tad \(1+y^{2}=1+16k^{2}+24k+9=4\left(4k^{2}+6k\right)+10\), kas nedalās ar \(4\). Tā kā vienādojuma kreisā puse dalās ar \(4\), bet labā nedalās, tad esam pierādījuši, ka nevar atrast tādus veselus skaitļus \(x\) un \(y\), lai pastāvētu vienādība.