Maisiņā ir sarkanas, dzeltenas un zaļas lentes. Katra no meiteņu kora \(29\) dalībniecēm izvēlējās tieši trīs no šīm lentēm (ne obligāti dažādās krāsās).
a) Vai noteikti ir tāds lenšu krāsu komplekts, ko izvēlējās tieši divas meitenes?
b) Vai noteikti ir tāds lenšu krāsu komplekts, ko izvēlējās vismaz trīs meitenes?
c) Kāds mazākais skaits no dalībniecēm jāizvēlas, lai starp tām noteikti būtu trīs meitenes, kas izvēlējās vienu un to pašu lenšu krāsu komplektu?
levērojam, ka iespējami \(10\) dažādi lenšu krāsu komplekti:
| Sarkana | Dzeltena | Zaļa | |
|---|---|---|---|
| \(\mathbf{1.}\) | \(3\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\mathbf{2.}\) | \(0\) | \(3\) | \(0\) |
| \(\mathbf{3.}\) | \(0\) | \(0\) | \(3\) |
| \(\mathbf{4.}\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\mathbf{5.}\) | \(2\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\mathbf{6.}\) | \(1\) | \(2\) | \(0\) |
| \(\mathbf{7.}\) | \(0\) | \(2\) | \(1\) |
| \(\mathbf{8.}\) | \(1\) | \(0\) | \(2\) |
| \(\mathbf{9.}\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(\mathbf{10.}\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
a) Nē, piemēram, varētu gadīties, ka pirmo komplektu izvēlas \(4\) meitenes, otro komplektu - \(1\) meitene, bet pārējos astoņus komplektus - pa \(3\) meitenēm.
b) Jā, noteikti. Ja katru komplektu būtu izvēlējušās ne vairāk kā \(2\) meitenes, tad kopā būtu ne vairāk kā \(2 \cdot 10=20\) meitenes, bet tā ir pretruna ar doto, ka lentas izvēlējās \(29\) meitenes. Tātad noteikti ir vismaz \(3\) meitenes, kas izvēlējās vienu un to pašu lenšu krāsu komplektu. (Izmantots Dirihlē princips.)
c) Ja izvēlētos \(20\) meitenes (vai mazāk), tad varētu gadīties, ka katru komplektu ir izvēlējušās \(2\) meitenes (vai mazāk). Tātad, ja izvēlētos \(21\) meiteni, tad pēc Dirihlē principa noteikti būtu trīs meitenes, kas izvēlējās vienu un to pašu lenšu krāsu komplektu.