Vienādojuma ar veseliem koeficientiem \(x^{4}+bx^{2}+c=0\) vienas saknes vērtība ir \(\sqrt{20}-\sqrt{18}\). Atrast vienādojuma koeficientus un pārējās trīs saknes!
levērojam, ja \(x=\sqrt{20}-\sqrt{18}\), tad \(x^{2}=38-12 \sqrt{10}>0\) un \(x^{4}=2884-912 \sqrt{10}\).
levietojot doto sakni dotajā vienādojumā, iegūstam
\[\begin{align} & 2884-912 \sqrt{10}+b(38-12 \sqrt{10})+c=0; \tag{*}\\ & 2884+38b+c-912 \sqrt{10}-12 \sqrt{10} b=0 \end{align}\]
Lai pastāvētu vienādība, iracionālajai un racionālajai daļai katrai atsevišķi jābūt \(0\), tas ir,\[\left\{ \begin{array}{c} 2884+38b+c=0 \\ -912\sqrt{10} - 12b\sqrt{10} = 0 \end{array}\right.\]
Atrisinot iegūto vienādojumu sistēmu, iegūstam \(b=-\frac{912}{12}=-76\) un \(c=-2884+2888=4\). Tātad sākotnējais vienādojums ir \(x^{4}-76x^{2}+4=0\). Aplūkojot (*), ievērojam, ka veiktie spriedumi un iegūtais vienādojums nebūtu mainījies, ja iracionālās daļas vērtība būtu ar pretēju zīmi, tas ir, \(2884+912 \sqrt{10}+b(38+12 \sqrt{10})+c=0\), bet šādu sakarību var iegūt, ja \(x=\sqrt{20}+\sqrt{18}\). No kā izriet, ka \(x=\sqrt{20}+\sqrt{18}\) arī ir dotā vienādojuma sakne. Ņemot vērā, ka \((-x)\) ir dotā vienādojuma sakne, ja \(x\) ir šī vienādojuma sakne, iegūstam, ka vienādojuma saknes ir \(x_{1,2}=\sqrt{20} \pm \sqrt{18}\) un \(x_{3,4}=-\sqrt{20} \pm \sqrt{18}\).