Atrisinājums

Tā kā \(CN\) un \(BM\) ir bisektrises, tad \(\sphericalangle ACN=\sphericalangle NCB=\alpha\) un \(\sphericalangle ABM=\sphericalangle MBC=\beta\) (skat. 27.att.). No trijstūra \(ABC\) iegūstam, ka \(\sphericalangle BAC=180^{\circ}-\sphericalangle ABC-\sphericalangle BCA=180^{\circ}-2 \alpha-2 \beta\). Tā kā \(AE=AD\) kā pieskaru nogriežņi, kas vilkti no punkta \(A\), tad trijstūris \(EAD\) ir vienādsānu un \(\sphericalangle ADE=\sphericalangle AED=\alpha+\beta\). Tā kā \(\sphericalangle AEN\) ir trijstūra \(NEC\) ārējais leņķis, tad \(\sphericalangle AEN=\sphericalangle ECN+\sphericalangle ENC\), no kurienes \(\sphericalangle ENC=\sphericalangle AEN-\sphericalangle ECN=\alpha+\beta-\alpha=\beta\). Tā kā \(\sphericalangle MNC=\sphericalangle MBC=\beta\), tad ap četrstūri \(CMNB\) var apvilkt riņķa līniju, tas ir, punkti \(B,\ C,\ M\) un \(N\) atrodas uz vienas riņķa līnijas.

Piezīme. Risinājumā izmantota apgrieztā teorēma par ievilktajiem leņķiem: ja četrstūrī \(ABCD\) ir spēkā vienādība \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle ACD\), tad ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju.