Atrisinājums

Lielākais nuļļu skaits ir \(6\). To var iegūt, piemēram, \(8514789+421679+63532=9000000\). Pierādīsim, ka ar vairāk kā \(6\) nullēm skaitļu summa nevar beigties.

Izveidotos skaitļus apzīmējam ar \(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}}, \overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}b_{6}}\) un \(\overline{c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}}\), tad to summa izsakāma kā

\[\begin{aligned} S= & a_{1} \cdot 10^{6}+\left(a_{2}+b_{1}\right) \cdot 10^{5}+\left(a_{3}+b_{2}+c_{1}\right) \cdot 10^{4}+\left(a_{4}+b_{3}+c_{2}\right) \cdot 10^{3}+\left(a_{5}+b_{4}+c_{3}\right) \cdot 10^{2}+ \\ & +\left(a_{6}+b_{5}+c_{4}\right) \cdot 10+\left(a_{7}+b_{6}+c_{5}\right) \end{aligned}\]

Ņemot vērā, ka visu izmantoto ciparu summa ir \(45 \cdot 2=90\), iegūstam

\[\begin{aligned} S= & 999999a_{1}+99999\left(a_{2}+b_{1}\right)+9999\left(a_{3}+b_{2}+c_{1}\right)+999\left(a_{4}+b_{3}+c_{2}\right)+99\left(a_{5}+b_{4}+c_{3}\right)+ \\ & +9\left(a_{6}+b_{5}+c_{4}\right)+\left(a_{1}+b_{1}+c_{1}+a_{2}+b_{2}+c_{2}+a_{3}+b_{3}+c_{3}+a_{4}+b_{4}+c_{4}+a_{5}+b_{5}+c_{5}+\right. \\ & +a_{6}+b_{6}+a_{7}= \\ = & 999999a_{1}+99999\left(a_{2}+b_{1}\right)+9999\left(a_{3}+b_{2}+c_{1}\right)+999\left(a_{4}+b_{3}+c_{2}\right)+99\left(a_{5}+b_{4}+c_{3}\right)+ \\ & +9\left(a_{6}+b_{5}+c_{4}\right)+90 \end{aligned}\]

Tātad visu izveidoto skaitļu summa dalās ar \(9\). Septiņciparu, sešciparu un piecciparu skaitļu summa ir mazāka nekā \(10\ 000\ 000+1\ 000\ 000+100\ 000=11\ 100\ 000\) un vienīgais skaitlis ar septiņām nullēm beigās, kas ir mazāks nekā \(11\ 100\ 000\), ir \(10\ 000\ 000\), kas nedalās ar \(9\). Tāpēc summa \(S\) nevar beigties ar septiņām nullēm.

Piezīme. Vajadzīgo piemēru var atrast, piemeklējot ciparus, sākot ar skaitļu pēdējo ciparu.