Atrisinājums

Bisektrišu krustpunktu apzīmējam ar \(F\). Ir jāpierāda, ka \(F\) atrodas uz \(BC\), un arī, ka \(FB=FC\).

Pierādīsim, ka \(FB=FC\). Uz \(AD\) izvēlamies tādu punktu \(E\), ka \(EA=AB\), tad \(DE=DC\) (jo \(AE+ED=AD=AB+DC\)). Tad \(\triangle AEF=\triangle ABF\) pēc pazīmes \(m \ell m\), jo \(\sphericalangle BAF=\sphericalangle EAF;\ AB=AE\) un \(AF\) - kopīga un \(\triangle EDF=\triangle CDF\) pēc pazīmes \(m \ell m\), jo \(\sphericalangle EDF=\sphericalangle CDF; ED=DC\) un \(DF\) - kopīga. Tā kā vienādos trijstūros attiecīgās malas ir vienādas, tad \(BF=EF=CF\). Tātad punkts \(F\) atrodas vienādā attālumā no \(B\) un \(C\).

Atliek pierādīt, ka \(F\) atrodas uz \(BC\). Apskatot četrstūrus \(ABFE\) un \(EFCD\) un izmantojot, ka četrstūra iekšējo leņķu summa ir \(360^{\circ}\) un ka trapeces sānu malas pieleņķu summa ir \(180^{\circ}\), iegūstam

\[\begin{aligned} \sphericalangle BFC=\sphericalangle BFE+\sphericalangle EFC & = & =\left(360^{\circ}-\sphericalangle ABF-\sphericalangle BAE-\sphericalangle AEF\right)+\left(360^{\circ}-\sphericalangle FED-\sphericalangle EDC-\sphericalangle DCF\right)= \\ & =720^{\circ}-(\sphericalangle ABF+\sphericalangle DCF)-(\sphericalangle BAE+\sphericalangle EDC)-(\sphericalangle AEF+\sphericalangle FED)= \\ & =720^{\circ}-180^{\circ}-180^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ} \end{aligned}\]

Esam ieguvuši, ka \(\sphericalangle BFC\) ir izstiepts leņķis, līdz ar to \(F\) atrodas uz \(BC\).