Pierādīt, ka \(9x^{6}-x^{3}+1 > 0\) visiem reāliem \(x\).
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} \left(3x^{3}\right)^{2}-2 \cdot 3x^{3} \cdot \frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{35}{36} > 0 \\ \left(3x^{3}-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{35}{36} > 0 \end{gathered}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs un \(\frac{35}{36}\) ir pozitīvs skaitlis, tad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem reāliem skaitļiem \(x\).