Divi septītās klases skolēni un vairāki astotās klases skolēni piedalījās skolas šaha turnīrā. Turnīrā katrs dalībnieks ar katru izspēlēja vienu partiju. Katrā partijā par uzvaru dalībniekam tika piešķirts viens punkts, par neizšķirtu katrs dalībnieks saņēma \(0,5\) punktus, bet par zaudējumu punkti netika piešķirti. Turnīra beigās septītās klases skolēni kopā bija ieguvuši \(8\) punktus, bet visi astotās klases skolēni bija ieguvuši vienādu punktu skaitu. Cik astotās klases skolēni piedalījās turnīrā? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!
Ar \(n\) apzīmējam astotās klases skolēnu skaitu, kas piedalījās turnīrā un ar \(x\) - punktu skaitu, ko ieguva katrs astotās klases skolēns. Tātad turnīrā kopā piedalījās \(n+2\) skolēni un tā kā katrs dalībnieks ar katru izspēlēja vienu partiju, tad kopējais spēļu un arī punktu skaits ir \(\frac{(n+2)(n+1)}{2}\). Astotās klases skolēni kopā ieguva
\[nx=\frac{(n+2)(n+1)}{2}-8\]
punktus. Reizinot abas vienādojuma puses ar \(2\) , iegūstam\[\begin{gathered} 2nx=(n+2)(n+1)-16 \\ 2nx=n^{2}+3n-14 \end{gathered}\]
Dalot abas vienādojuma puses ar \(n\), iegūstam\[\begin{array}{r} 2x=\frac{n^{2}}{n}+\frac{3 n}{n}-\frac{14}{n} \\ 2x=n+3-\frac{14}{n} \end{array}\]
Tā kā \(2x\) ir vesels skaitlis, tad \(n\) ir jābūt skaitļa \(14\) dalītājam, tas ir, \(n\) iespējamās vērtības ir \(1 ; 2 ; 7 ; 14\). Apskatām visus gadījumus. - Ja \(n=1\), tad \(2x=1+3-14=-10\), kas nav iespējams, jo punktu skaits nevar būt negatīvs. - Ja \(n=2\), tad \(2x=2+3-7=-2\), kas nav iespējams, jo punktu skaits nevar būt negatīvs. - Ja \(n=7\), tad \(2x=7+3-2=8\) jeb \(x=4\). - Ja \(n=14\), tad \(2x=14+3-1=16\) jeb \(x=8\). Tātad turnīrā piedalījās \(7\) vai \(14\) astotās klases skolēni. Parādīsim, ka abi šie gadījumi ir iespējami. - Ja turnīrā piedalījās \(7\) astotās klases skolēni, tad turnīrā kopā piedalījās \(9\) skolēni un katrs izspēlēja \(8\) spēles. Piemēram, ja visas spēles beidzās neizšķirti, tad katrs turnīra dalībnieks izcīnīja \(4\) punktus, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem. - Ja turnīrā piedalījās \(14\) astotās klases skolēni, tad doto turnīra rezultātu varēja panākt, piemēram, sekojošā veidā, kur ar \(A\) un \(B\) apzīmēti \(7.\) klases skolēni: - spēle starp \(A\) un \(B\) beidzās neizšķirti; - visas spēles starp \(8.\) klases skolēniem beidzās neizšķirti; - septiņi \(8.\) klases skolēni uzvarēja \(A\), bet spēlēja neizšķirti ar \(B\); - otri septiņi \(8.\) klases skolēni uzvarēja \(B\), bet spēlēja neizšķirti ar \(A\). Šajā gadījumā abiem \(7.\) klases skolēniem ir \(4\) punkti (\(8\) neizšķirti), bet visiem \(8.\) klases skolēniem ir \(8\) punkti (\(14\) neizšķirti un viena uzvara).