LV.NOL.2017.8.3 lv
a) Parādi, kā šaha zirdziņš var apstaigāt šaha galdiņu ar izmēriem \(5 \times 5\) lauciņi! Vienā lēcienā no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, tas var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(x\) ", skat. 19.att.
b) Šaha zirdziņš ir sasitis kāju, tāpēc tas veic vienu garu lēcienu (skat. 19.att.) un vienu īsu lēcienu (no tās rūtiņas, kurā stāv zirdziņš, tas var aizlēkt uz jebkuru rūtiņu, kas atzīmēta ar " \(y\) ", skat. 20.att.). Vai klibais zirdziņš var apstaigāt šaha galdiņu izmēriem \(5 \times 5\) lauciņi, pamīšus izpildot vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, vienu garu lēcienu, vienu īsu lēcienu, ....?
Piezīme. Apstaigāt galdiņu nozīmē, ka zirdziņš katrā šaha galdiņa lauciņā ir bijis tieši vienu reizi.
Atrisinājums
a) Šaha zirdziņš galdiņu var apstaigāt tā, kā parādīts, piemēram, 21.att.
b) Pierādīsim, ka klibais zirdziņš nevar apstaigāt šaha galdiņu ar izmēriem \(5 \times 5\) lauciņi.
Pieņemsim pretējo, ka zirdziņam šādā veidā ir izdevies apstaigāt laukumu. Aplūkosim tikai zirdziņa īsos gājienus, savienosim ar līniju katrus divus lauciņu centrus, starp kuriem zirdziņš veic īso gājienu. Starta lauciņš (no kura zirdziņš sāk) šajā gadījumā paliek nesavienots, pārējie \(24\) lauciņi ir pa pāriem savienoti. Aplūkosim ar " \(x\) " atzīmētos lauciņus (skat. 22.att.), tādi ir \(9\), tātad vismaz \(8\) no tiem būs savienoti ar līniju ar kādu citu lauciņu, bet līnija (īsais gājiens) no tiem var iet tikai uz ar " \(o\) " apzīmēto lauciņu, kādi ir tikai \(4\). Tātad kāds no ar " \(o\) " apzīmētajiem lauciņiem būs savienots ar līniju ar vairāk nekā vienu lauciņu - pretruna.