LV.NOL.2017.12.4 lv
Divas dažādas riņķa līnijas iekšēji pieskaras punktā \(A\). Lielākās riņķa līnijas centrs ir \(O\) un taisne \(OA\) krusto mazāko riņķa līniju punktā \(B\), bet lielāko- punktā \(C\). Lielākās riņķa līnijas diametrs, kas ir perpendikulārs \(OA\), krusto mazāko riņķa līniju punktā \(D\), bet lielāko- punktā \(E\) (punkts \(D\) atrodas starp \(O\) un \(E\), skat. 38.att.). Aprēķināt abu riņķa līniju rādiusu garumus, ja \(DE=5\) un \(BC=7\).
Atrisinājums
Lielākās riņķa līnijas rādiusa garumu apzīmējam ar \(R\), tad \(AO=OE=OC=R\), \(OD=OE-ED=R-5\) un \(OB=OC-BC=R-7\).
Trijstūris \(ADB\) ir taisnleņka, jo \(\sphericalangle ADB\) balstās uz mazākās riņķa līnijas diametra \(AB\).
Taisnleņka trijstūrī augstuma pret hipotenūzu kvadrāts ir vienāds ar katešu projekciju uz diagonāles reizinājumu, tas ir, \(OD^{2}=AO \cdot OB\) jeb \((R-5)^{2}=R(R-7)\). Atrisinot iegūto vienādojumu, iegūstam \(3R=25\) jeb \(R=\frac{25}{3}\). Mazākās riņķa līnijas rādiusa garums ir \(\frac{AC-BC}{2}=\frac{50}{6}-\frac{7}{2}=\frac{29}{6}\).
Piezīme. Vienādību \(OD^{2}=AO \cdot OB\) var iegūt arī pamatojot, ka \(\triangle AOD \sim \triangle DOB\).