Pierādīt, ka \(x^{2}+y^{2}+4 \geq 2x-2y-xy\), ja \(x, y-\) reāli skaitļi!
Reizinām nevienādības abas puses ar \(2\) un veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} 2x^{2}+2y^{2}+8 \geq 4x-4y-2xy \\ x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-4x+y^{2}+4y+8 \geq 0 \\ (x+y)^{2}+\left(x^{2}-4x+4\right)+\left(y^{2}+4y+4\right) \geq 0 \\ (x+y)^{2}+(x-2)^{2}+(y+2)^{2} \geq 0 \end{gathered}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs, tad pēdējās nevienādības kreisajā pusē ir trīs nenegatīvu skaitļu summa, kas arī ir nenegatīvs skaitlis. Tātad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\).