LV.NOL.2017.11.5 lv
Antra un Baiba spēlē spēli uz \(3 \times 3\) rūtiņu laukuma. Spēlētājas gājienus izdara pēc kārtas, katrā gājienā kādā no tukšajām rūtiņām ierakstot vai nu nullīti, vai krustiņu (katra spēlētāja katrā gājienā var rakstīt jebkuru no šiem simboliem). Kad viss laukums aizpildīts, tiek saskaitīts spēles rezultāts. Par katru rindu, kolonnu un diagonāli (tādu, kas satur \(3\) rūtiņas), ja tajā ir pāra skaits krustiņu, punktu saņem Antra, bet, ja krustiņu skaits ir nepāra, tad punktu saņem Baiba. Uzvar spēlētāja, kuras punktu kopsumma ir lielāka. Pierādīt, ka spēlētājai, kura sāk spēli, ir uzvaroša stratēģija, un aprakstīt to!
Atrisinājums
Aplūkosim gadījumu, kad pirmā gājienu izdara Antra un izmanto tālāk aprakstīto stratēģiju. Pirmajā gājienā centrālajā rūtiņā Antra ieliek krustiņu (skat. 36.att.).
Uz katru Baibas gājienu Antra atbild, ieliekot pretēju simbolu rūtiņā, kas ir simetriska attiecībā pret kvadrāta centru. Piemēram, uz Baibas gājienu „ \(0\) ” laukuma kreisā apakšējā stūrī, Antra atbild ar „ \(x \)” laukuma augšējā labajā stūrī (skat. 37.att.).
Tādējādi pēc katra Antras gājiena veidojas viens trijnieks, kas iet caur centrālo rūtiņu un Antra saņem punktu. Šādi par otro rindu, otro kolonnu un abām diagonālēm Antra kopā iegūst \(4\) punktus. Ja aplūko pirmo un trešo kolonnu, tad simetrijas dēļ vienā kolonnā punktu ir ieguvusi viena spēlētāja, bet otrā-otra spēlētāja. Tas pats attiecas uz pirmo un trešo rindu. Tātad aprakstītā stratēģija vienmēr garantē Antras uzvaru ar rezultātu \(6:2\).
Ievērosim, ka spēle ir simetriska attiecībā uz izmantotajiem simboliem- pāra skaits krustiņu kādā virzienā nozīmē nepāra skaitu nullīšu un otrādi. Tātad, ja pirmā gājienu izdara Baiba, tad viņai centrālajā rūtiņā jāieliek „ \(0\) ” un tālāk jāspēlē pēc iepriekš aprakstītās stratēģijas.