Atrisinājums

No (2) izriet, ka \(y\) jādalās ar \(31\) jeb

\[y=31t\]

un, tātad arī kādam no reizinātājiem \(x\) vai \(z\) jādalās ar \(31\). Turklāt dalīties ar \(31\) var tikai viens no šiem skaitļiem, pretējā gadījumā no (1) iegūtu, ka \(2017\) dalās ar \(31\), bet tā nav. Tā kā \(2017\) ir pirmskaitlis, tad \(x\) un \(z\) nav kopīgu dalītāju. Dotā vienādojumu sistēma ir simetriska attiecībā pret \(x\) un \(z\), tāpēc pieņemsim, ka \(x\) dalās ar \(31\), tas ir,

\[\begin{equation*} x=31p \tag{4} \end{equation*}\]

(pieņemot, ka \(z\) dalās ar \(31\), visi spriedumi ir analoģiski). Izmantojot (3) un (4), no (2) iegūstam, ka \(31 \cdot 31p \cdot z=(31t)^{2}\) jeb \(pz=t^{2}\). Tā kā \(p\) un \(z\) nav kopīgu dalītāju, tad katram no skaitļiem \(p\) un \(z\) ir jābūt kāda naturāla skaitļa kvadrātam, tas ir, \(p=p_{1}^{2}\) un \(z=z_{1}^{2}\). Izmantojot (1) un (4), iegūstam \(p=\frac{x}{31}=\frac{2017-z}{31} < \frac{2017}{31}\) jeb \(p_{1}^{2} < \frac{2017}{31} < 65\). Tātad \(p_{1} \leq 8\). Izveidojam tabulu, kurā analizējam visas iespējamās \(p_{1}\) vērtības. | \(p_{1}\) | \(p=p_{1}^{2}\) | \(x=31 p\) | \(z=2017-x\) | \(z\) ir kvadrāts | Paskaidrojums | | :-----: | :-----------: | :------: | :-----------: | :-------------: | :-------------------------------------: | | \(1\) | \(1\) | \(31\) | \(1986\) | nē | \(1986\) dalās ar \(2\), bet nedalās ar \(4\) | | \(2\) | \(4\) | \(124\) | \(1893\) | nē | kvadrāta pēdējais cipars nevar būt \(3\) | | \(3\) | \(9\) | \(279\) | \(1738\) | nē | kvadrāta pēdējais cipars nevar būt \(8\) | | \(4\) | \(16\) | \(496\) | \(1521=39^{2}\) | jā | | | \(5\) | \(25\) | \(775\) | \(1242\) | nē | kvadrāta pēdējais cipars nevar būt \(2\) | | \(6\) | \(36\) | \(1116\) | \(901\) | nē | \(30^{2}=900\) un \(31^{2}=961\) | | \(7\) | \(49\) | \(1519\) | \(498\) | nē | kvadrāta pēdējais cipars nevar būt \(8\) | | \(8\) | \(64\) | \(1984\) | \(33\) | nē | kvadrāta pēdējais cipars nevar būt \(3\) | Esam ieguvuši atrisinājumu \(x=496, y=4836, z=1521\) un tā kā vienādojumu sistēma ir simetriska attiecībā pret \(x\) un \(z\), iegūstam otru atrisinājumu \(x=1521, y=4836, z=496\).