Pierādīt, ka \(x^{4}+2x^{3}y+2xy^{3}+y^{4} \geq 6x^{2}y^{2}\), ja \(x\) un \(y\) ir reāli pozitīvi skaitļi!
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} \left(x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}\right)+2x^{3}y+2xy^{3}-4x^{2}y^{2} \geq 0 \\ \left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+2xy\left(x^{2}+y^{2}-2xy\right) \geq 0 \\ \left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+2xy(x-y)^{2} \geq 0 \end{gathered}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs un \(xy > 0\) pēc dotā, tad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem pozitīviem skaitļiem \(x\) un \(y\).