Zināms, ka skaitļu \(a_{1}; a_{2}; a_{3}\) summa ir \(105\) un tie veido aritmētisko progresiju, bet skaitļi \(a_{1}; a_{2}\); \(a_{3}+4\) veido ģeometrisko progresiju. Atrast visas iespējamās \(a_{1}; a_{2}; a_{3}\) vērtības un pamatot, ka citu nav!
No aritmētiskās progresijas definīcijas izriet, ka \(a_{2}=a_{1}+d\) un \(a_{3}=a_{1}+2d\), kur \(d\) ir diference. Līdz ar to iegūstam vienādojumu
\[\begin{gathered} a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d=105 \\ 3a_{1}+3d=105 \\ a_{1}+d=35 \\ a_{1}=35-d \end{gathered}\]
Tā kā \(a_{1}; a_{2}; a_{3}+4\) veido ģeometrisko progresiju, tad izpildās vienādība \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}+4}{a_{2}}\) jeb \(a_{2}^{2}=a_{1}\left(a_{3}+4\right)\). Izsakot \(a_{1}, a_{2}\) un \(a_{3}\) ar \(d\), iegūstam\[\begin{gathered} (35-d+d)^{2}=(35-d)(35-d+2d+4) \\ 35^{2}=(35-d)(39+d) \\ d^{2}+4d-35 \cdot 39+35^{2}=0 \\ d^{2}+4d-35 \cdot 4=0 \\ d^{2}+4d-140=0 \end{gathered}\]
Izmantojot Vjeta teorēmu, iegūstam \(d_{1}=10\) un \(d_{2}=-14\) Līdz ar to esam ieguvuši, ka \(a_{1}=25 ; a_{2}=35 ; a_{3}=45\) vai \(a_{1}=49; a_{2}=35 ; a_{3}=21\)