Atrisinājums

Savienojam diagonāļu krustpunktu \(O\) ar malas \(AB\) viduspunktu \(T\), nogriežņa \(OT\) krustpunktu ar \(BE\) apzīmējam ar \(P\) (skat. 29.att.). Tad \(OT || AD\), jo \(OT\) ir trijstūra \(ABD\) viduslīnija. Tā kā \(OT\) un \(BE\) ir trijstūra \(ABO\) mediānas, tad \(PO:TP=2:1\). Apzīmējam kvadrāta \(ABCD\) malas garumu ar \(a\). Tad \(TP=\frac{1}{3}OT=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a=\frac{a}{6}\). Nogrieznis \(TP\) ir trijstūra \(ABF\) viduslīnija, tāpēc \(AF=2TP=\frac{a}{3}\). Trijstūri \(AOF\) un \(COG\) ir vienādi pēc pazīmes \(\ell m \ell\), jo \(\sphericalangle OAF=\sphericalangle OCG\) (iekšējie šķērsleņķi.), \(AO=OC\) un \(\sphericalangle AOF=\sphericalangle COG\) (krustleņķi). Tāpēc \(GC=\frac{a}{3}\) un \(BG=\frac{2a}{3}\).

Savienojam punktu \(F\) ar nogriežņa \(BG\) viduspunktu \(U\), tad \(FU\) ir trijstūra \(BFG\) mediāna un \(BU=UG=\frac{a}{3}\). Četrstūris \(ABUF\) ir taisnstūris, jo \(BU=AF=\frac{a}{3}\) un \(BU || AF\), un \(\sphericalangle ABU\) ir taisns. Līdz ar to \(FU\) ir trijstūra \(BFG\) augstums. Tā kā \(FU\) trijstūrī \(BFG\) ir gan mediāna, gan augstums, tad trijstūris \(BFG\) ir vienādsānu trijstūris, kas arī bija jāpierāda.