Pierādīt, ka \(x^{2}+2y^{2}+2xy+y+1 > 0\), ja \(x, y\) - reāli skaitļi!
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)+y^{2}+y+1 > 0 \\ (x+y)^{2}+\left(y^{2}+2 \cdot y \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)+\frac{3}{4} > 0 \\ (x+y)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} > 0 \end{gathered}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs un \(\frac{3}{4}\) ir pozitīvs skaitlis, tad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\).