Doti \(2016\) skaitļi: \(1^{2}\); \(2^{2}\); \(3^{2}\); \(\ldots\); \(2015^{2}\); \(2016^{2}\). Vai starp šiem skaitļiem var salikt "+" un "-" zīmes tā, lai iegūtās izteiksmes vērtība būtu \(0\)?
Jā, var. Ievērosim, ka divu pēc kārtas sekojošu skaitļu kvadrātu starpība ir \((n+1)^{2}-n^{2}=2n+1\). Tāpat arī \((n+3)^{2}-(n+2)^{2}=2n+5\) un tātad, saliekot starp jebkuriem četriem pēc kārtas sekojošiem kvadrātiem zīmes \(+--+\), iegūstam izteiksmi, kuras vērtība ir \(4\):
\[+n^{2}-(n+1)^{2}-(n+2)^{2}+(n+3)^{2}=-(2n+1)+(2n+5)=4\]
Savukārt, saliekot zīmes \(-++-\), iegūstam izteiksmi, kuras vērtība ir \(-4\):\[-n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}-(n+3)^{2}=2n+1-(2n+5)=-4\]
Tātad, saliekot astoņiem pēc kārtas sekojošiem kvadrātiem zīmes \(+--+-++-\), iegūstam izteiksmi, kuras vērtība ir \(0\): \(\left(n^{2}-(n+1)^{2}-(n+2)^{2}+(n+3)^{2}\right)+\left(-(n+4)^{2}+(n+5)^{2}+(n+6)^{2}-(n+7)^{2}\right)=4-4=0\) Tā kā \(2016\) dalās ar \(8\), tad visus kvadrātus var sadalīt grupās pa \(8\) un katrā no tām salikt zīmes tā, ka šīs grupas summa ir \(0\), tātad arī visas izteiksmes summa ir \(0\).