Atrisinājums

(A) Naturāls skaitlis, dalot ar \(4\), dod atlikumu \(0,\ 1,\ 2\) vai \(3\), pāra skaitļi dod atlikumu \(0\) vai \(2\), nepāra - atlikumu \(1\) vai \(3\).

1. Ja starp dotajiem pieciem skaitļiem ir divi, kas, dalot ar \(4\), abi dod atlikumu \(0\) vai abi dod atlikumu \(2\), tad šo divu skaitļu summa dalās ar \(4\), jo \(0+0 \equiv 0(\bmod 4)\) vai \(2+2 \equiv 4 \equiv 0(\bmod 4)\), tad varam ņemt šos. Pretējā gadījumā mums ir ne vairāk kā divi pāra skaitļi, tātad ir vismaz trīs nepāra skaitļi.
2. Ja starp nepāra skaitļiem ir gan tāds, kas, dalot ar \(4\), dod atlikumu \(1\), gan tāds, kas dod atlikumu \(3\), tad šo abu summa dalās ar \(4\) un mēs varam ņemt šos. Pretējā gadījumā mums visi nepāra skaitļi dod vienu un to pašu atlikumu (\(1\) vai \(3\)), dalot ar \(4\).
3. Ja kāds no skaitļiem, dalot ar \(4\), dod atlikumu \(2\), tad tas summā ar diviem nepāra skaitļiem (kuri abi dod atlikumu \(1\) vai \(3\), dalot ar \(4\)) dalās ar \(4\), jo \(2+1+1 \equiv 4 \equiv 0(\bmod 4)\) vai \(2+3+3 \equiv 8 \equiv 0(\bmod 4)\), tad varam ņemt šos trīs skaitļus. Pretējā gadījumā mums ir ne vairāk kā viens pāra skaitlis (kurš dod atlikumu \(0\), dalot ar \(4\)).
4. Ja ir ne vairāk kā viens pāra skaitlis, tad ir vismaz četri nepāra skaitļi, kas visi dod vienādus atlikumus, dalot ar \(4\), tad to summa dalās \(4\).

(B) Līdzīgi kā (A) gadījumā varam izsecināt, ka neder divi pāra skaitļi, kas dod vienādus atlikumus, dalot ar \(4\), divi nepāra skaitļi, kas dod dažādus atlikumus, dalot ar \(4\) un neder arī viens pāra skaitlis, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(4\). Tādējādi nonākam pie atlikumiem \(0,\ 1,\ 1,\ 1\) vai \(0,\ 3,\ 3,\ 3\), kas abi der.

N̦emsim jebkurus skaitļus, kas, dalot ar \(4\), dod attiecīgi atlikumus, \(0,\ 1,\ 1,\ 1\). Tad vairāku no tiem atlikumu summa būs vismaz \(1\), bet ne lielāka kā \(3\) (ja mēs sasummējam visus), tātad tā var pieņemt tikai vērtības \(1,\ 2\) vai \(3\). Tātad nekādu vairāku no tiem summa nedalīsies ar \(4\). Šādi skaitļi ir, piemēram, \(4,\ 1,\ 5,\ 9\) (to, ka tie der var pārbaudīt arī, aprēķinot visas \(11\) iespējamās vairāku no tiem summas).