Atrisinājums

Pamatosim, ka lielāks ir skaitlis \(\log _{2015} 2016\).

Pierādīsim vispārīgu apgalvojumu: ja \(x < y\), tad \(\log _{x}(x+1)>\log _{y}(y+1)\).

Aplūkosim funkciju \(f(x)=\log _{x}(x+1)\) intervālā \(x \in(1,+\infty)\) un pierādīsim, ka tā šajā intervālā ir dilstoša. Varam pārveidot

\[f(x)=\log _{x}\left(\frac{(x+1) \cdot x}{x}\right)=\log _{x}\left(\frac{x+1}{x}\right)+1=1+\log _{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1+\frac{\lg \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\lg x}\]

Ja \(x < y\), tad \(1+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{y}\), tātad arī \(\lg \left(1+\frac{1}{x}\right)>\lg \left(1+\frac{1}{y}\right)\), jo logaritmiskā funkcija pie bāzes \(10\) ir augoša funkcija. Šī paša iemesla dēļ arī \(\lg x<\lg y\), tātad arī

\[1+\frac{\lg \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\lg x}>1+\frac{\lg \left(1+\frac{1}{y}\right)}{\lg y}\]

kas nozīmē, ka \(f(x) > f(y)\), ja \(x < y\).