Atrisinājums

Apzīmējam malu \(AB,\ BC,\ CD\) un \(DA\) viduspunktus attiecīgi ar \(E,\ F,\ G\) un \(H\) (skat. 6.att.). Tā kā \(EF\) un \(HG\) ir attiecīgi trijstūru \(ABC\) un \(ADC\) viduslīnijas, tad \(EF \parallel AC \parallel HG\). Līdzīgi \(EH \parallel BD \parallel FG\). Līdz ar to četrstūris \(EFGH\) ir paralelograms, jo tā pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Tā kā \(EFGH\) visas virsotnes atrodas uz riņķa līnijas, tad tā pretējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\), no kā izriet, ka paralelograma \(EFGH\) katra leņķa lielums ir \(90^{\circ}\) un \(EFGH\) ir taisnstūris. Ievērojam, ka \(EF \parallel AC\) un \(EH \parallel BD\), tāpēc \(AC \perp BD\) jeb \(\sphericalangle BOA=90^{\circ}\), kur \(O\) ir \(AC\) un \(BD\) krustpunkts.

Ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka, ir vienādi, tad \(\sphericalangle CDB=\sphericalangle CAB\). Tā kā \(\triangle BOA\) iekšējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\), tad \(180^{\circ}=\sphericalangle BAO+\sphericalangle AOB+\sphericalangle OBA=\sphericalangle BDC+90^{\circ}+\sphericalangle DBA\) jeb \(\sphericalangle ABD+\sphericalangle BDC=90^{\circ}\), kas arī bija jāpierāda.