Atrisinājums

Ievērojam, ka \(a^{4}-b^{4}=\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)=(a-b)(a+b)\left(a^{2}+b^{2}\right)\).

Tā kā \(11^{4}-7^{4}=4 \cdot 18 \cdot(121+49)=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 17=240 \cdot 51\) un \(13^{4}-11^{4}=2 \cdot 24 \cdot(169+121)=2^{4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29=240 \cdot 29\), tad meklētais lielākais kopīgais dalītājs \(d\) nevar būt lielāks kā \(240\). Pamatosim, ka visi skaitļi dalās ar \(240\), līdz ar to būs pierādīts, ka \(d=240\). Ievērosim, ka \(240=16 \cdot 3 \cdot 5\); tā kā visi reizinātāji ir savstarpēji pirmskaitļi, tad pietiekami parādīt, ka katrs no dotajiem skaitļiem dalās gan ar \(16\), gan ar \(3\), gan ar \(5\).

• Tā kā jebkurš pirmskaitlis \(p\), kas lielāks nekā \(5\), ir nepāra skaitlis, tad, to dalot ar pāra skaitli, nevar iegūt atlikumu, kas ir pāra skaitlis, līdz ar to var rasties tikai nepāra atlikums: \(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15\). Tātad \(p\) var būt kongruents ar \(\pm 1, \pm 3, \pm 5\) vai \(\pm 7\) pēc moduļa \(16\). Noskaidrosim, ar ko var būt kongruenta pirmskaitļa ceturtā pakāpe pēc moduļa \(16\):

  \(p^{4} \equiv( \pm 1)^{4} \equiv 1(\bmod 16)\);
  \(p^{4} \equiv( \pm 3)^{4} \equiv 81 \equiv 1(\bmod 16)\);
  \(p^{4} \equiv( \pm 5)^{4} \equiv 25 \cdot 25 \equiv 9 \cdot 9 \equiv 81 \equiv 1(\bmod 16)\);
  \(p^{4} \equiv( \pm 7)^{4} \equiv 49 \cdot 49 \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1(\bmod 16)\).

Tātad \(p^{4} \equiv 1(\bmod 16)\)

• Pirmskaitļi \(p>5\), dalot ar \(3\), var iegūt tikai atlikumu \(1\) vai \(2\), tāpēc pēc moduļa \(3\) šāds pirmskaitlis \(p\) var pieņemt tikai vērtības \(\pm 1\) un \(p^{4} \equiv 1(\bmod 3)\).
• Pirmskaitļi \(p>5\), dalot ar \(5\), var iegūt tikai atlikumu \(1,\ 2,\ 3\) vai \(4\), tāpēc pēc moduļa \(5\) šāds pirmskaitlis \(p\) var pieņemt tikai vērtības \(\pm 1\) un \(\pm 2\). Tad \(p^{4} \equiv( \pm 1)^{4} \equiv 1(\bmod 5)\) vai \(p^{4} \equiv( \pm 2)^{4} \equiv 16 \equiv 1(\bmod 5)\). Tātad \(p^{4} \equiv 1(\bmod 5)\).

Līdz ar to \(p^{4} \equiv 1(\bmod 240)\) un tāpēc \(a^{4}-b^{4} \equiv 1-1 \equiv 0(\bmod 240)\) jeb \(a^{4}-b^{4}\) dalās ar \(240\). Esam pierādīuši, ka visu skaitļu, kas pierakstāmi formā \(a^{4}-b^{4}\), kur \(a>b>5\) un \(a\) un \(b\) ir pirmskaitļi, lielākais kopīgais dalītājs ir \(240\).

Piezīme. Pamatot to, ka \(a^{4}-b^{4}\) dalās ar \(16\), var, ievērojot, ka jebkuriem nepāra skaitļiem \(a\) un \(b\) to kvadrātu summa dalās ar \(2\), bet kvadrātu starpība dalās ar \(8\).