Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(1 \cdot 4=1 \cdot 2^{2}\) jeb \(4=4\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka vienādība izpildās, ja \(n=k\), tas ir,

\[1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+k \cdot(3 k+1)=k(k+1)^{2}\]

*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka vienādība ir spēkā arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir, \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+(k+1) \cdot(3(k+1)+1)=(k+1)((k+1)+1)^{2}\) jeb \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+(k+1) \cdot(3k+4)=(k+1)(k+2)^{2}\) Pārveidojam vienādības kreisās puses izteiksmi: \(\underbrace{1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+k \cdot(3k+1)}_{induktīvais\ pieņēmums}+(k+1) \cdot(3k+4)=k(k+1)^{2}+(k+1) \cdot(3k+4)=\) \(=(k+1)(k(k+1)+3k+4)=(k+1)\left(k^{2}+4k+4\right)=(k+1)(k+2)^{2}\). *Secinājums.* Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka vienādība ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.