Apskata visas funkcijas \(y=ax^{2}+x+b\), kur koeficientus \(a\) un \(b\) saista sakarība \(a+2b=2015\).
Pierādīt, ka visu šādu funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti!
Aplūkosim funkcijas vērtību, ja \(x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) :
\[y=a \cdot\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}+b=\left(\frac{1}{2} a+b\right) \pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2015}{2} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]
Tātad punkti \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{2015}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) un \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{2015}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) ir kopīgi visu aplūkoto funkciju grafikiem. *Piezīmes.* 1. Ievērot to, ka šie punkti pieder visām parabolām, var, pamanot, ka izteiksmes \(\frac{1}{2} a+b\) vērtība ir \(\frac{2015}{2}\) neatkarīgi no \(a\) un \(b\) vērtībām. Tad, ņemot \(x^{2}=\frac{1}{2}\), funkcijas vērtība nebūs atkarīga no konkrētajām \(a\) un \(b\) vērtībām. 2. Kopīgos punktus \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{2015}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) un \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{2015}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) var iegūt arī no dotajām parabolām paņemot divas patvaļīgas (piemēram, \(a=0,\ b=\frac{2015}{2}\) un \(a=1,\ b=1007\)) un atrodot to krustpunktus (atrisinot kvadrātvienādojumu).