Atrisinājums

Pieņemsim, ka tabulā ir trīs rindas un četras kolonnas. Ar \(A\) apzīmējam rindā ierakstīto četru skaitļu vidējo aritmētisko. Tad rindā ierakstīto skaitļu summa ir \(4A\) un trīs rindās (jeb visā tabulā) ierakstīto skaitļu summa ir \(12A\). Pirmo trīspadsmit naturālu skaitļu summa ir

\[\frac{(1+13) \cdot 13}{2}=91\]

Ar \(x\) apzīmējam skaitli, kuru Dārta nodzēsīs. To nosakām no vienādojuma

\[\begin{equation*} 12A=91-x \tag{*} \end{equation*}\]

Pierādīsim, ka \(A\) ir naturāls skaitlis. Ja \(A=n+p\), kur \(n \in N,\ 0 < p < 1\), tad no nosacījuma, ka katrā rindā ierakstīto skaitļu summa ir \(4A\), izriet, ka \(4p \in N\). Savukārt no nosacījuma, ka katrā kolonnā ierakstīto skaitļu summa ir \(3A\), izriet, ka \(3p \in N\). Tātad \(4p-3p=p \in N\), kas ir pretrunā ar to, ka \(0 < p < 1\). Esam pierādījuši, ka vienādības \((\ast)\) abu pušu izteiksmju vērtība ir naturāls skaitlis. Tā kā \((\ast)\) kreisās puses izteiksme dalās ar \(12\), tad arī labās puses izteiksmei jādalās ar \(12\). Ievērojam, ka skaitlis \(91\), dalot ar \(12\), dod atlikumu \(7\), tāpēc \(91-x\) dalīsies ar \(12\), ja \(x\) būs formā \(12k+7\), kur \(k\) ir nenegatīvs vesels skaitlis, no kā seko, ka \(x=7\), jo dotie skaitļi nepārsniedz \(13\). Tātad tabulā nebūs ierakstīts skaitlis \(7\). Vidējā aritmētiskā vērtība \(A=84:12=7\). Lai iegūtu \(12\) skaitļu: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\) vajadzīgo izvietojumu, vispirms divās rindās ierakstām tādus skaitļus, kuru summa ir \(4A=28\). Trešajā rindā ierakstām atlikušos četrus skaitļus. Tad mainām skaitļu secību pa rindām, lai katras kolonnas skaitļu summa būtu \(21\).

Skaitļu izvietojumu skat., piemēram, A4.zīm.