Atrisinājums

Vislielākais ir skaitlis \((b+c)(d+a)\) un vismazākais ir skaitlis \((a+b)(c+d)\).

Pierādīsim, ka

1. \((b+c)(d+a)>(a+c)(b+d)\);
2. \((a+c)(b+d)>(a+b)(c+d)\).

Veicam ekvivalentus pārveidojumus:

1. \((b+c)(d+a)>(a+c)(b+d)\);
   \(bd+ba+cd+ca>ab+ad+cb+cd\);
   \(bd+ca>ad+cb\);
   \(bd+ca-ad-bc>0\);
   \(d(b-a)-c(b-a)>0\);
   \((b-a)(d-c)>0\).
   Iegūtā nevienādība ir patiesa, jo \(b-a<0,\ d-c<0\) un divu negatīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis.

2. \((a+c)(b+d)>(a+b)(c+d)\);
   \(ab+ad+bc+cd>ac+ad+bc+bd\);
   \(ab+cd>ac+bd\);
   \(ab+cd-ac-bd>0\);
   \(a(b-c)-d(b-c)>0\);
   \((b-c)(a-d)>0\). Iegūtā nevienādība ir patiesa, jo \(b-c>0,\ a-d>0\) un divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis.

Tātad esam ieguvuši, ka \((b+c)(d+a)>(a+c)(b+d)>(a+b)(c+d)\) no kā seko prasītais.