Atrisinājums

(A) Jā, eksistē, piemēram, \(a=9,\ b=5,\ c=3\). Tad \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=81+25+9=115\).

(B) Pierādīsim, ka šādi skaitļi neeksistē. Apskatām vienādojumu

\[\begin{equation*} a^{2}+b^{2}+c^{2}=\overline{\ldots 2015} \tag{*} \end{equation*}\]

Skaitlis dalās ar \(8\), ja tā pēdējo trīs ciparu veidotais skaitlis dalās ar \(8\). Skaitli \(\overline{\ldots 2015}\) dalot ar \(8\), iegūst atlikumu \(7(\overline{\ldots 2015}=\underset{\vdots 8}{\overline{\ldots 2000}}+15=\underset{\vdots 8}{\overline{\ldots 2000}}+\underset{\vdots 8}{8}+7)\). Jebkuru naturālu skaitli var pierakstīt formā \(8m+k\), kur \(k=0,\ 1,\ \ldots,\ 7\). Apskatām skaitļa kvadrātu \((8m+k)^{2}=64m^{2}+16mk+k^{2}=8 \cdot\left(8m^{2}+2mk\right)+k^{2}\). Skaitli \((8m+k)^{2}\) dalot ar \(8\), iegūsim tādu pašu atlikumu, kā \(k^{2}\), dalot ar \(8\). | \(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | \(k^{2}\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) | \(49\) | | Atlikums, dalot ar \(8\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(1\) | Tātad skaitļa kvadrātu, dalot ar \(8\), atlikumā var iegūt \(0,\ 1,\ 4\). Skaitli \(7\) (vienādojuma \(\left({ }^{*}\right)\) labās puses atlikums) nevar iegūt, izmantojot tikai minētos atlikumus. Tātad vienādojumam (*) nav atrisinājuma jeb neeksistē tādi naturāli skaitļi \(a\), \(b\) un \(c\), ka skaitļa \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) pēdējie četri cipari ir \(2015\). *Piezīme.* Uzdevumu var risināt, izmantojot kongruenci pēc moduļa \(8\).