Atrisinājums

Definīcijas kopa: \(x^{2}-5x>0\).

No kā seko, ka \(x \in(-\infty; 0) \cup(5;+\infty)\).

Ievērojam, ka \(\log _{\sqrt{6}} 36=\log _{\sqrt{6}}(\sqrt{6})^{4}=4\), tad doto vienādojumu var pārveidot formā:

\[\begin{align*} & (x-2) \log _{\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)=2x-4 \\ & (x-2) \log _{\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)=2(x-2) \tag{*} \end{align*}\]

Ievērojam, ka \(x-2\) ir abu saskaitāmo kopīgais reizinātājs:

\[\begin{gathered} (x-2) \log _{\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)-2(x-2)=0 \\ (x-2)\left(\log _{\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)-2\right)=0 \end{gathered}\]

Reizinājums ir vienāds ar \(0\), ja kāds no reizinātājiem ir vienāds ar \(0\). Iegūstam divus gadījumus: 1) \(x-2=0\) jeb \(x=2\) - šī vētība neder, jo nepieder definīcijas kopai; 2) \(\log {\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)-2=0\) jeb \(\log {\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)=2\). Izmantojot logaritma definīciju, iegūstam \(x^{2}-5x=(\sqrt{6})^{2}\) jeb \(x^{2}-5x-6=0\) Tad pēc Vjeta teorēmas \(x_{1}=6\) un \(x_{2}=-1\). Abas iegūtās \(x\) vērtības pieder vienādojuma definīcijas kopai. Atbilde: \(x=6\) vai \(x=-1\). *Piezīme.* Vienādojuma (*) abas puses var izdalīt ar \(x-2 \neq 0\) (jo \(x\) vērtība \(2\) nepieder definīcijas kopai) un iegūt vienādojumu: \(\log _{\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)=2\).