Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle DCB=\alpha\) (pēc bisektrises definīcijas). Tad \(\sphericalangle BCA=\sphericalangle ABC=2 \alpha\) kā leņķi pie pamata vienādsānu trijstūrī un \(\sphericalangle ABX=180^{\circ}-2 \alpha\) (pēc blakusleņķu īpašības). Nogrieznis \(BD\) ir leņķa \(ABX\) bisektrise, tāpēc \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBX=90^{\circ}-\alpha\) (skat. A6.zīm.).

Tā kā trijstūra iekšējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\), tad no \(\triangle ABC\) un \(\triangle DBC\) iegūstam

\[\begin{gathered} \sphericalangle BAC=180^{\circ}-\sphericalangle ABC-\sphericalangle ACB=180^{\circ}-4 \alpha \\ \sphericalangle BDC=180^{\circ}-\sphericalangle DCB-\sphericalangle ABC-\sphericalangle ADB=180^{\circ}-\alpha-2 \alpha-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=90^{\circ}-2 \alpha \end{gathered}\]

Ievērojam, ka \(\sphericalangle BDC=90^{\circ}-2 \alpha=\frac{1}{2} \sphericalangle BAC\). Aplūkojam riņķa līniju \(\omega\) ar centru punktā \(A\) un rādiusu \(AB\). Tad \(\sphericalangle BAC\) ir centra leņķis, kas balstās uz hordas \(BC\). Tā kā leņķa \(BDC\) lielums ir tieši divas reizes mazāks nekā centra leņķim, tad tas ir ievilkts leņķis. Tātad punkts \(D\) atrodas uz riņķa līnijas \(\omega\). Līdz ar to \(AD=AB\) kā riņķa līnijas \(\omega\) rādiusi, kas arī bija jāpierāda.