Atrisinājums

Ja punkts \(M(1; 15)\) atrodas uz parabolas, tad iegūstam vienādību: \(15=a \cdot 1^{2}+b \cdot 1+c\) jeb \(15=a+b+c\).

Ja punkts \(N(-3 ;-1)\) atrodas uz parabolas, tad iegūstam \(-1=a \cdot(-3)^{2}+b \cdot(-3)+c\) jeb \(-1=9a-3b+c\).

Parabolas virsotnes \(x\) koordinātu aprēķina pēc formulas \(x_{0}=\frac{-b}{2a}\). Tātad iegūstam, ka \(-3=\frac{-b}{2a}\) jeb \(b=6a\).

Lai noteiktu koeficientus \(a\), \(b\), \(c\), sastādām vienādojumu sistēmu:

\[\left\{\begin{array}{l} a+b+c=15 \tag{1}\\ 9a-3b+c=-1 \\ b=6a \end{array}\right.\]

No \((1)\) atņemto \((2)\), iegūst \(4b-8a=16\) jeb \(b-2a=4\). Izmantojot \((3)\), pakāpeniski iegūstam koeficientu vērtības:

\[6a-2a=4 \quad \Rightarrow \quad a=1 \quad \Rightarrow \quad b=6 \quad \Rightarrow \quad c=8\]

Atbilde. Koeficientu vērtības ir \(a=1\), \(b=6\), \(c=8\). *Piezīme:* 1. Trešo sistēmas vienādojumu var iegūt, ja izvēlas punktam \((1; 15)\) simetrisko punktu \((-7; 15)\) attiecībā pret parabolas simetrijas asi \(x=-3\):

\[15=a \cdot(-7)^{2}+b \cdot(-7)+c\;\;\text{jeb}\;\;15=49a-7b+c\]

2. Risinājumā var izmantot, ka parabolas ar virsotni punktā \(\left(x_{0}; y_{0}\right)\) vienādojums ir \(y=a\left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}\). Tad, vienādojumā \(y=a(x+3)^{2}-1\) ievietojot punkta \(M\) koordinātas (\(x=1,\ y=15\)), var atrast \(a\) vērtību \(a=1\). Tātad meklētā parabola ir \(y=1 \cdot(x+3)^{2}-1=x^{2}+6x+8\).