Atrisinājums

Ieviesīsim koordinātu sistēmu tā, ka koordinātu asis iet pa rūtiņu malām un \(1\) vienība ir vienas rūtiņas malas garums. Varam ievērot, ka rūtiņu krustpunktu koordinātas ir \(\left(\frac{n_{1}}{2}, \frac{n_{2}}{2}\right)\), kur \(n_{1}\) un \(n_{2}\) ir nepāra skaitļi. Punktu \((a, b)\) un \((c, d)\) viduspunkta koordinātas ir \(\left(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}\right)\).

Aplūkosim trijstūra virsotnu koordinātas \((x, y)\) pēc to paritātes. Katra virsotne ietilpst kādā no grupām

\[(p, p), \quad(p, n), \quad(n, p), \quad \mathbf{(n, n)}\]

kur ar \(p\) apzīmēts pāra skaitlis, ar \(n\) - nepāra. Iespējami divi gadījumi: - Ja divas trijstūra virsotnes ietilpst vienā grupā, tad izvēlamies šos divus punktus un šo punktu viduspunkta koordinātas abi būs veseli skaitļi, kas nozīmē, ka šis viduspunkts atrodas kādā citā rūtiņu režģa krustpunktā. - Ja nekādas divas virsotnes neietilpst vienā grupā, tad var izvēlēties divas virsotnes tā, ka abām koordinātām ir pretēja paritāte. Šo punktu viduspunkta koordinātas būs formā \(\left(\frac{n_{1}}{2}, \frac{n_{2}}{2}\right)\), kur \(n_{1}\) un \(n_{2}\) - nepāra skaitļi, kas nozīmē, ka šis viduspunkts atrodas kādas rūtiņas centrā jeb trijstūra mala iet caur rūtiņas centru. Līdz ar to esam pierādījuši prasīto.