Neviens no reāliem skaitļiem \(x\), \(y\) un \(z\) nav nulle un \(x+y+z=xyz\). Pierādīt, ka
\[\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \geq 1\]
Reizinot doto nevienādību ar \((xyz)^{2}>0\), iegūstam ekvivalentu nevienādību:
\[y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+x^{2}y^{2} \geq(xyz)^{2}\]
Veiksim ekvivalentus pārveidojumus:\[\begin{aligned} & y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+x^{2}y^{2} \geq xyz(x+y+z) \\ & y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+x^{2}y^{2} \geq x^{2}yz+xy^{2}z+xyz^{2} \\ & 2y^{2}z^{2}+2x^{2}z^{2}+2x^{2}y^{2} \geq 2x^{2}yz+2xy^{2}z+2xyz^{2} \\ & 2y^{2}z^{2}+2x^{2}z^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{2}yz-2xy^{2}z-2xyz^{2} \geq 0 \\ & \left(x^{2}y^{2}-2x^{2}yz+x^{2}z^{2}\right)+\left(x^{2}y^{2}-2xy^{2}z+y^{2}z^{2}\right)+\left(x^{2}z^{2}-2xyz^{2}+y^{2}z^{2}\right) \geq 0 \\ & (xy-xz)^{2}+(yz-xy)^{2}+(xz-yz)^{2} \geq 0 \end{aligned}\]
Trīs kvadrātu summa ir nenegatīvs skaitlis, līdz ar to pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa.