Kādiem naturāliem skaitļiem \(n\) piemīt šāda īpašība: visu skaitļa \(n\) naturālo dalītāju, izņemot \(1\) un \(n\), kvadrātu summa ir vienāda ar pašu skaitli \(n\)?
Parādīsim, ka uzdevuma nosacījumus apmierina visi naturālie skaitļi, kas ir pirmskaitļu kvadrāti, t.i., \(n=p^{2},\ p\) - pirmskaitlis.
Pirmkārt, \(n=p^{2}\) der, jo \(p^{2}\) vienīgais dalītājs, kas nav ne \(1\), ne arī \(p^{2}\), ir pirmskaitlis \(p\). Tātad skaitļa \(n=p^{2}\) naturālo dalītāju (izņemot \(1\) un \(n\)) kvadrātu summa ir \(p^{2}=n\).
Otrkārt, pierādām, ka citi naturālie skaitļi neder. Skaitlis \(1\) neder, jo tam nav citu naturālu dalītāju kā tikai skaitlis \(1\). Apskatām saliktu skaitli \(n=a \cdot b\), kur \(a>1\) un \(b>1\). Tad skaitļa \(n\) dalītāju (kas atšķiras no \(1\) un \(n\)) kvadrātu summa ir vismaz \(a^{2}+b^{2}\). Taču
\[a^{2}+b^{2} \geq 2ab>ab=n\]
kur pirmā nevienādība izriet no patiesas nevienādības \((a-b)^{2} \geq 0\). Līdz ar to saliktiem skaitļiem \(n\) apskatāmo dalītāju kvadrātu summa ir lielāka nekā \(n\).