Grozos pa apli izvietotas \(2014\) konfektes tā, ka blakus grozos konfekšu skaits atšķiras tieši par \(1\). Zināms, ka ir vismaz divi grozi un katrā grozā ir vismaz viena konfekte. Kāds var būt (A) vismazākais; (B) vislielākais grozu skaits?
(A) Vismazākais grozu skaits, kas apmierina uzdevuma nosacījumus, ir \(4\). Konfekšu izvietojums grozos ir šāds: \((503,\ 504,\ 503,\ 504)\).
Skaidrs, ka nepietiek ar diviem groziem, jo tad vienā grozā konfekšu skaits būtu \(k\), bet otrā \(k+1\), kas kopā dotu nepāra skaitli. Nepietiek arī ar trijiem groziem, jo tad grozā ar mazāko konfekšu skaitu būtu \(k\) konfektes un blakus grozos pa \(k+1\) konfektei, bet saskaņā ar uzdevuma noteikumiem blakus grozos nevar būt vienāds konfekšu skaits.
(B) Pierādīsim, ka grozu skaitam vienmēr ir jādalās ar \(4\). Blakus esošos grozos konfekšu skaitam vienmēr ir pretēja paritāte - līdz ar to grozu skaitam noteikti jādalās ar \(2\) (citādi kaut kur blakus būs divi grozi, kuros abos ir vai nu pāra, vai nepāra skaits konfekšu).
Ievērosim, ka divos blakus esošos grozos konfekšu summa vienmēr ir nepāra skaitlis. Apzīmējam grozu skaitu ar \(2n\) un sadalām visus grozus \(n\) blakusstāvošu grozu pāros, katrā šādā pārī konfekšu skaits ir nepāra, tātad kopējais konfekšu skaits ir \(n\) nepāra skaitļu summa. Tā kā kopējais konfekšu skaits ir \(2014\), tad \(n\) jābūt pāra skaitlim. Tātad grozu skaits dalās ar \(4\). (Piezīme. Šis spriedums arī parāda, ka mazākais grozu skaits var būt \(4\)).
Lielākais iespējamais grozu skaits ir \(1340\). Konfektes grozos var izvietot šādi (divos grozos ir trīs konfektes, pārējos grozos - viena vai divas konfektes):
\[3,2,3,2,1,2,1, \ldots, 2,1,2\]
Ja grozu skaits būtu lielāks, tad būtu vismaz \(1344\) grozi, tātad \(672\) blakusstāvošu grozu pāri un, ja katrā pārī būtu minimālais konfekšu skaits (t.i., trīs konfektes), tad kopējais konfekšu skaits būtu vismaz \(672 \cdot 3=2016\), kas pārsniedz \(2014\).