Zināms, ka \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}\) ir tādi dažādi nepāra naturāli skaitļi, ka \(a_{1}>\sqrt{a_{2}}\), \(a_{2}>\sqrt{a_{3}}\), \(\ldots\), \(a_{9}>\sqrt{a_{10}}\) un \(a_{10}>\sqrt{a_{1}}\). Aprēķināt vismazāko summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}\) vērtību.
Tā kā visi \(a_{i}(i=1,2, \ldots, 10)\) ir naturāli skaitļi, to mazākā iespējamā vērtība ir \(1\). Ja kāds no dotajiem skaitļiem \(a_{k}=1\), tad nevienādība \(a_{k}=1>\sqrt{a_{k+1}}\) nav patiesa nevienam naturālam skaitlim \(a_{k+1}\). Tātad mazākā iespējamā skaitļu \(a_{i}\) vērtība ir \(3\) (skaitlis \(2\) neder, jo tas ir pāra skaitlis). Viegli pārbaudīt, ka \(a_{1}=3,\ a_{2}=5,\ a_{3}=7,\ a_{4}=9,\ a_{5}=11,\ a_{6}=13,\ a_{7}=15\), \(a_{8}=17,\ a_{9}=19,\ a_{10}=21\) apmierina dotās nevienādības. Tā kā tie ir mazākie dažādie nepāra naturālie skaitļi, kas apmierina dotās nevienādības, tad summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}\) mazākā iespējamā vērtība ir
\[3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=120\]