Dots, ka \(n>1\) ir tāds naturāls skaitlis, kas, dalot ar \(7\), dod atlikumu \(1\). Pierādīt, ka skaitļa \(n^{2}+3n+3\) visi pirmreizinātāji ir mazāki nekā \(n^{2}\).
Ievērosim, ka \(n^{2}+3n+3 \equiv 1^{2}+3+3 \equiv 0(\bmod 7)\). Tātad skaitlis \(n^{2}+3n+3\) dalās ar \(7\) un tā pirmreizinātāji var būt tikai skaitlis \(7\) vai arī tādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(\frac{n^{2}+3n+3}{7}\). Pamatosim, ka \(7 < n^{2}\) un \(\frac{n^{2}+3n+3}{7} < n^{2}\).
Tā kā \(n \equiv 1(\bmod 7)\) un \(n > 1\), tad \(n \geq 8\). Taču tad \(n^{2} \geq 8^{2} > 7\).
Nevienādība \(\quad \frac{n^{2}+3n+3}{7} < n^{2} \quad\) ir ekvivalenta nevienādībai \(\quad n^{2}+3n+3 < 7n^{2} \quad \Leftrightarrow\) \(2n^{2}-n-1 > 0\).
Atliek ievērot, ka funkcija \(f(x)=2x^{2}-x-1=(x-1)(2x+1)\) pieņem pozitīvas vērtības intervālā \((1 ;+\infty)\), tātad \(2n^{2}-n-1 > 0\) visiem naturāliem skaitļiem \(n > 1\).