Zināms, ka \(a\) un \(b\) ir divi dažādi naturāli skaitļi. Pierādīt, ka
\[\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} > \frac{1}{4(a+b)}.\]
Pārveidosim doto nevienādību:
\(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} > \frac{1}{4(a+b)} \Leftrightarrow a+b-\frac{1}{2(a+b)} > 2 \sqrt{ab} \Leftrightarrow(a+b)^{2}-1+\frac{1}{4(a+b)^{2}} > 4ab \Leftrightarrow\) \((a-b)^{2}+\frac{1}{4(a+b)^{2}} > 1\)
Tā kā \(a\) un \(b\) ir divi dažādi naturāli skaitļi, tad \((a-b)^{2} \geq 1\) un \(\frac{1}{4(a+b)^{2}} > 0\), līdz ar to pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī visas iepriekšējās, t.sk. dotā, nevienādības ir patiesas, k.b.j.