Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \((x-y)(x+y)=x\).
Atbilde: atrisinājumi ir \((0; 0)\) un \((1; 0)\).
Pārveidosim vienādojumu formā
\[x(x-1)=y^{2}\]
Ja \(x=0\) vai \(x=1, tad \)y=0\( un atrisinājums eksistē.Pieņemsim, ka \)
x > 1\(. Tad ir spēkā stingrā nevienādība\[(x-1)^{2} < x(x-1) < x^{2}\]
Tā kā \)x(x-1)\( atrodas starp divu secīgu veselu skaitļu kvadrātiem, tad tas nevar būt vesela skaitļa kvadrāts. Līdzīgi, ja \)x < 0\(, tad ir spēkā stingrā nevienādība\[x^{2} < x(x-1) < (x-1)^{2}\]
Tātad arī šajā gadījumā \)x(x-1)$ nevar būt vesela skaitļa kvadrāts.