Atrisinājums

Atbilde: \(36^{\circ}, 36^{\circ}, 108^{\circ}\).

Tā kā \(\triangle ABC\) apvilktās un ievilktās riņķa līniju centri ir simetriski vienu trijstūra malām (apzīmēsim to ar \(BC\); skat. 2.zīm.), tad viens no tiem atrodas \(\triangle ABC\) iekšpusē, bet otrs- ārpusē. Tā kā ievilktās riņķa līnijas centrs \({O}_{1}\) vienmēr atrodas trijstūra iekšpusē, tad apvilktās riņķa līnijas centrs \(O\) atrodas \(\triangle ABC\) ārpusē un \(\triangle ABC\) ir platleņķa trijstūris.

\(OC=OB\) kā apvilktās riņķa līnijas rādiusi, tad \(\triangle BOC\) ir vienādsānu. Apzīmēsim \(\sphericalangle OCB=\sphericalangle OBC=x\). Tad \(\sphericalangle BOC=180^{\circ}-\) \(2x=UBAC\).

Tā kā \(O_{1}\) ir simetrisks \(O\) attiecībā pret taisni \(BC\), tad \(\sphericalangle O_{1}BC=\sphericalangle OBC=x\) un \(\sphericalangle O_{1}CB=\sphericalangle OCB=x\).

Ievilktās rinķa līnijas centrs atrodas bisektrišu krustpunktā, tāpēc \(\sphericalangle CBO_{1}=\sphericalangle O_{1}BA=x\) un \(\sphericalangle BCO_{1}=\sphericalangle O_{1}CA=x\).

Apskatām leņķus: \(\quad \triangle ABC \quad \sphericalangle BAC=\frac{1}{2} \cup BnC=\frac{1}{2}\left(360^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 x\right)\right)=90^{\circ}+x\), \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle CBA=2x\). Tad \(90^{\circ}+x+2x+2x=180^{\circ}\) jeb \(5x=90^{\circ}\) un \(x=18^{\circ}\). Tātad \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle CBA=36^{\circ}, \sphericalangle BAC=108^{\circ}\).