Dota skaitļu virkne \(1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 9,\ 6,\ \ldots\). Tā tiek veidota pēc likuma: virknes pirmie divi locekļi ir \(1\), bet katrs nākamais ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu kvadrātu summas pēdējo ciparu.
(A) Noteikt, vai šīs virknes \(2012.\) loceklis ir pāra vai nepāra skaitlis.
(B) Aprēķināt virknes \(2012.\) locekli.
(A) Apzīmējot virknes pāra locekļus ar \(p\) un nepāra ar \(n\), iegūsim virkni \(n, n, p, n, n, p, n, \ldots\), viegli saprast, ka šī virkne ir periodiska ar perioda garumu \(3\). Tāpēc tikai tie locekļi, kuru kārtas numurs dalās ar \(3\), ir pāra, tāpēc \(2012.\) loceklis ir nepāra.
(B) Turpinot virkni tālāk, iegūsim, ka tā ir
\[1, \underline{1}, 2,5,9,6,7,5,4,1,7,0,9,1,2,5, \ldots\]
Katrs virknes loceklis ir viennozīmīgi noteikts ar diviem iepriekšējiem. Tā kā virknes otrais un trešais loceklis ir \(1\) un \(2\), un \(14.\) un \(15.\) loceklis arī ir \(1\) un \(2\), tad virkne, sākot ar \(2.\) locekli, ir periodiska ar perioda garumu \(12\). Tāpēc \(2006.\) loceklis ir \(1\) (jo \(2+12 \cdot 167=2006\) ) un \(2007.\) loceklis ir \(2\). Tāpēc \(2012.\) loceklis ir \(5\).