Pa apli uzrakstīti septiņi dažādi skaitļi, nekādu divu blakus uzrakstīto skaitļu reizinājums nav pozitīvs. Aplūkojam visus triju pēc kārtas uzrakstītu skaitļu reizinājumus. Cik no šiem septiņiem reizinājumiem ir pozitīvi?
Atbilde: tieši divi no tiem.
Vispirms pierādīsim, ka kāds no skaitļiem ir \(0\). Ja neviens no skaitļiem nav nulle, tad visu blakus skaitļu reizinājumi ir negatīvi, tātad jebkuri divi blakus skaitļi ir ar pretējām zīmēm. Ja mēs skaitļus apzīmējam ar \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g\), tad \(a\) un \(b\) ir ar pretējām zīmēm, \(b\) un \(c\) ir ar pretējām zīmēm, tātad \(a\) un \(c\) ir ar vienādām zīmēm. Tieši tāpat pamato, ka \(c\) un \(e\) un \(e\) un \(g\) arī ir ar vienādām zīmēm. Bet tad arī \(a\) un \(g\) ir ar vienādām zīmēm un reizinājums \(ag\) ir pozitīvs - pretruna.
Tātad, viens no skaitļiem ir \(0\), pieņemsim, ka \(g=0\). Tad zīmes skaitļiem \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) var būt vai nu "+ - + - + -" vai "- + - + - +". Redzams, ka no reizinājumiem \(abc,\ bcd,\ cde,\ def\) divi ir pozitīvi ("- + -") un divi negatīvi ("+ - +"). Pārējie trīs triju blakusstāvošu skaitļu reizinājumi satur reizinātāju \(g\), tātad to vērtība ir \(0\). Tātad tieši divi no šiem reizinājumiem ir pozitīvi.