Regulārā \(17\)-stūrī \(A_{1}A_{2} \ldots A_{17}\) atzīmētas četras virsotnes \(A_{i}, A_{j}, A_{k}, A_{l}\) (\(i < j < k < l\)). No pārējām virsotnēm ir jāizvēlas četras virsotnes (apzīmēsim tās ar \(B\), \(C\), \(D\) un \(E\)) tā, lai \(B\) būtu starp \(A_{i}\) un \(A_{j},\ C\) būtu starp \(A_{j}\) un \(A_{k}\), \(D\) būtu starp \(A_{k}\) un \(A_{l}\), \(E\) būtu starp \(A_{l}\) un \(A_{i}\). Kādām \(i, j, k, l\) vērtībām punktu četrinieku (\(B,\ C,\ D,\ E\)) var izvēlēties visvairāk veidos?
Ar \(b, c, d\) un \(e\) apzīmējam virsotņu skaitu attiecīgi starp \(A_{i}\) un \(A_{j}\), starp \(A_{j}\) un \(A_{k}\), starp \(A_{k}\) un \(A_{l}\) un starp \(A_{l}\) un \(A_{i}\). Četriniekus \((B, C, D, E)\) var izvēlēties \(b \cdot c \cdot d \cdot e\) veidos. Tā kā virsotnes \(B, C, D\) un \(E\) nevar sakrist ar \(A_{i}, A_{j}, A_{k}\) un \(A_{l}\), tad \(b+c+d+e=17-4=13\). Mums jāatrod, kādiem \(b, c, d, e\) reizinājums \(b \cdot c \cdot d \cdot e\) sasniedz lielāko vērtību pie nosacījuma \(b+c+d+e=13\).
Sākumā apskatām vienkāršāku problēmu: atrast maksimumu reizinājumam \(b \cdot c\), ja zināms, ka \(b+c=S,\ S\) - fiksēts vesels skaitlis un \(b\) un \(c\) jābūt veseliem skaitļiem. Salīdzinot \(b \cdot c\) un
\((b+1) \cdot(c-1)=b c-b+c-1\), konstatējam, ka
\(b \cdot c<(b+1) \cdot(c-1)\), ja \(-b+c-1>0\) jeb \(b < c-1\)
\(b \cdot c=(b+1) \cdot(c-1)\), ja \(-b+c-1=0\) jeb \(b=c-1\)
\(b \cdot c>(b+1) \cdot(c-1)\), ja \(-b+c-1<0\) jeb \(b>c-1\)
Tātad, ja \(b \cdot c\) vērtība sasniedz maksimumu, tad \(b \geq c-1\). Līdzīgā veidā var izsecināt, ka \(c \geq b-1\). Tas nozīmē, ka \(b \cdot c\) vērtība var sasniegt maksimumu tikai, ja \(b=c,\ b=c-1\) vai \(c=b-1\).
Tagad atgriežamies pie sākotnējā uzdevuma. Ja \(b \cdot c \cdot d \cdot e\) sasniedz maksimālo vērtību, tad reizinājumiem \(b \cdot c,\ b \cdot d,\ b \cdot e,\ c \cdot d,\ c \cdot e,\ d \cdot e\) arī jāsasniedz maksimums. Tas ir iespējams tikai tad, ja katri divi no skaitļiem \(b, c, d\) un \(e\) vai nu ir vienādi, vai atšķiras tieši par \(1\). Un tas var notikt tikai, ja viens no \(b\), c, \(d\) un \(e\) ir vienāds ar \(4\), bet visi pārējie - ar \(3\). Tad punktus \(B\), \(C, D, E\) varēs izvēlēties \(4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=108\) veidos.
Šajā gadījumā virsotnes \(A_{i}, A_{j}, A_{k}, A_{l}\), jāizvēlas tā, lai \(i, j, k, l\) apmierina sekojošus nosacījumus:
\(i < j < k < l,\ i=1,2,3,4\) vai \(5\),
\(j-i=4\) vai \(5,\ k-j=4\) vai \(5,\ l-k=4\) vai \(5\), pie tam tieši viens no \(j-i,\ k-j,\ l-k,\ 17+i-l\) ir \(5\).
Atbilstoši šiem nosacījumiem (\(i, j, k, l\)) var izvēlēties \(17\) veidos: \((1,5,9,13),\ (1,5,9,14),\ (1,5,10,14),\ (1,6,10,14),\ (2,6,10,14),\ (2,6,10,15),\ (2,6,11,15),\ (2,7,11,15),\ (3,7,11,15),\ (3,7,11,16),\ (3,7,12,16),\ (3,8,12,16),\ (4,8,12,16),\ (4,8,12,17),\ (4,8,13,17),\ (4,9,13,17),\ (5,9,13,17)\).