Kādiem pirmskaitļiem \(p\) skaitlim \(p^{2}+23\) ir tieši četri naturāli dalītāji?
Atbilde: \(p=2\).
Ja \(p=2\), tad skaitlim \(p^{2}+23=27\) ir tieši \(4\) naturāli dalītāji \(1,\ 3,\ 9,\ 27\).
Ja \(p>2\), tad \(p\) ir nepāra skaitlis \(2k+1\). Tādā gadījumā
\[\begin{equation*} (2k+1)^{2}+23=4\left(k^{2}+k\right)+24=4k(k+1)+24=8m+24=8(m+3). \tag{*} \end{equation*}\]
Šim skaitlim ir vismaz pieci naturāli dalītāji \(1,\ 2,\ 4,\ 8\) un \(8(m+3)\). (*) \(k(k+1)=2m\), jo divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu reizinājums pāra skaitlis.