Atrast augošu aritmētisku progresiju, kuras visi elementi ir naturāli skaitļi un kurai piemīt īpašība: neviens tās elements nav naturāla skaitļa \(k\)-tā pakāpe jebkuram naturālam \(k \geq 2\).
Der, piemēram, aritmētiskā progresija \(2,6,10, \ldots\), vispārīgā locekļa formula \(a_{n}=4n-2\), \(n \geq 1\).
Pieņemsim, ka ir tāds \(n\), ka \(a_{n}=b^{k}\), kur \(b\) un \(k\) - naturāli skaitļi un \(k \geq 2\). Tā kā visi virknes locekļi \(a_{n}\) ir pāra skaitļi, tad \(b^{k}\) ir pāra skaitlis un \(b\) arī ir pāra skaitlis. Bet tad \(b^{k}\) dalās ar \(2^{k}\), un pie \(k \geq 2b^{k}\) dalās ar \(4\). Taču \(a_{n}\) ar \(4\) nedalās - pretruna, tāpēc minētā virkne der par meklēto.
\(\underline{Piezīme:}\) Šī nav vienīgā virkne, kas apmierina uzdevuma prasības.