LV.NOL.2012.10.2 lv
Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AC\) izvēlēts punkts \(K\). Nogrieznis \(BK\) sadala trijstūri \(ABC\) divos trijstūros. Visi trīs trijstūri (\(\triangle ABC\) un abi dalījumā iegūtie trijstūri) ir līdzīgi. Pierādīt, ka \(\triangle ABC\) ir taisnleņķa trijstūris.
Atrisinājums
Aplūkosim 2.zīmējumu. No trijstūru \(BKC\) un \(ABK\) līdzības seko, ka pastāv trīs iespējas.
- \(\sphericalangle BKC=\sphericalangle ABK\). Tad taisnēm \(KC\) un \(AB\) jābūt paralēlām, bet tas nav iespējams, jo tās krustojas punktā \(A\).
- \(\sphericalangle BKC=\sphericalangle BAK\). Tad taisnēm \(KB\) un \(AB\) jābūt paralēlām, bet tas nav iespējams, jo tās krustojas punktā \(B\).
- Atliek trešā iespēja: \(\sphericalangle BKC=\sphericalangle BKA\). Tad leņķis \(\sphericalangle BKC\) ir taisns, un trijstūris \(B K C\) ir taisnleņķa trijstūris. Tā kā \(\triangle ABC\) ir līdzīgs trijstūrim \(BKC\), tad arī \(\triangle ABC\) ir taisnleņķa trijstūris.
