Atrisinājums

Meklējamo \(a+b\) mazāko iespējamo vērtību apzīmēsim ar \(S\). Ievērosim, ka \(21=5^{2}-5+1\), tāpēc \(5^{3}+1=(5+1)\left(5^{2}-5+1\right)\) dalās ar \(21\) un tāpēc \(S \leq 5+3=8\). Tālāk izmantosim faktu: jebkuram naturālam \(n\) skaitlis \(n^{2}+1\) nedalās ar \(3\). Tiešām, ja \(n\) dalās ar \(3\), tad \(n^{2}+1\) nedalās ar \(3\), un ja \(n\) nedalās ar \(3\), tad \(n^{2}-1=(n+1)(n-1)\) dalās ar \(3\) un \(n^{2}+1\) nedalās ar \(3\). Tāpēc ja \(b\) būtu pāra skaitlis, tad \(a^{b}\) būtu pilns kvadrāts un \(a^{b}+1\) nedalītos ar \(3\) un tāpēc arī ar \(3 \cdot 7=21\). Tāpēc \(b\) ir nepāra skaitlis, līdz ar to pietiek pārbaudīt šādas \(b\) vērtības: \(1, 3 , 5, 7\). Ja \(b=1\), tad \(a \geq 20\) un \(a+b > S\). Ja \(b=7\), tad \(a > 1\) un \(a+b > 8\). Tāpēc ja summa \(a+b\) ir minimāla, tad \(b\) ir \(3\) vai \(5\). Tālāka pārbaude rāda, ka ja \(a^{3}+1\) dalās ar \(21\), tad \(a \geq 5\) un ja \(a^{5}+1\) dalās ar \(21\), tad \(a \geq 4\). Tāpēc \(S \geq 8\), no kurienes seko, ka \(S=8\).