Trijstūris \(ABC\) ir vienādsānu (\(AB=BC\)) un \(\sphericalangle ABC=30^{\circ}\). Uz malas \(AB\) izvēlēts punkts \(E\), bet uz malas \(BC\) - punkts \(F\), tā, ka trijstūris \(CEF\) ir vienādmalu. Aprēķināt trijstūru \(CEF\) un \(ABC\) laukumu attiecību!
\(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BCA=\left(180^{\circ}-30^{\circ}\right):2=75^{\circ}, \sphericalangle FCE=\sphericalangle CEF=\sphericalangle EFC=60^{\circ}\). Tad \(\sphericalangle BFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\) (blakusleņķik) un \(\sphericalangle BEF=180^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ}=30^{\circ}\), tātad \(\triangle EBF\)- vienādsānu un \(BF=EF=FC\).
Apzīmēsim \(AB=BC=2a\), tad \(FC=BF=a\). Tad \(S_{CEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) un
\(S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \sin 30^{\circ}=a^{2}\). Tātad \(\frac{S_{CEF}}{S_{ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\).